viernes, 27 de mayo de 2016

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN




La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

 Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b \in I \!\!R, \, \, \, c \in I \!\!R,$ entonces $a \, \cdot \, (b \, + \, c) = a \, \cdot \, b \, + \, a\, \cdot \, c$

 En forma más general,

 Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b_1 \in I \!\!R, \, \, \, b_2 \in I \!\!R, \, \, \, b_3 \in I \!\!R, \, \, \cdots , \, b_n \in I \!\!R$ entonces:
$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n) \, = \, ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ y en tal caso decimos que
$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n)$ es una factorización de la expresión1$ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$, y que $a$ es un factor común de los sumandos de$ab_1, ab_2, \cdots , ab_n$

 Ejemplo:
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:
a.$x^2 \, + \, xy$
b.$6xa \, - \, 12xy$
c.$a^2 \, + \, a$
Solución:
a.$x^2 \, + \, xy$
$= x \, \cdot \, x \, + \, xy$
$= x(x \, + \, y)$
Por lo que la factorización de $x^2 \, + \, xy$ es 
es decir:
$x^2 \, + \, xy \, = \, x(x \, + \, y)$
b.$6xa \, - \, 12xy$
$= 6x \, \cdot \, a \, - \, 6 \, x \, 2y$
$= 6x(a \, - \, 2y)$
Por lo que la factorización de $6xa \, - \, 12xy$ es $6x(a \, - \, 2y);$
es decir
$6xa \, - \, 12xy = 6x(a \, - \, 2y)$
c.$a^2 \, + \, a$
$= a^2 \, + \, a$
$= a(a \, + \, 1)$
Por lo que la factorización de $a^2 \, + \, a$ es 
es decir
$a^2 \, + \, a = a(a \, + \, 1)$

 Ejemplo:
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:
a.$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
b.$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
c.$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
d.$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$
Solución:
a.$x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$
$= x^2y^2yz \, + \, x^2xy^2zz$
$= x^2y^2z(y \, + \, xz)$
Por lo que:  $x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2 \, = \, x^2y^2z(y \, + \, xz)$
b.$(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$
$= 3(a \, + \, 5)\, - \, b(a \, + \, 5)$
$= (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$
Por lo que:  $(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5) \, = \, (a \, + \, 5)(3 \, - \, b)$
c.$a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$
$= a(x \, - \, y) \, + \, (-1)(x \, - \, y)$ (*)
(*) Usando la propiedad distributiva se puede demostrar:$ \, \, \, \, \, \, {a\, - \, b \, = \, (-1) \, (b \, - \, a)}$
Por lo que:   $a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x) \, = \, (x \, - \, y)(a \, - \, 1)$
d.$14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$
$= 14x^2 \, \cdot \, 1 \, - \, 14x^2 \, \cdot 2x \, + \, 14x^2 \, \cdot \, 4y$
$= 14x^2 \, (1 \, - \, 2x \, + \, 4y)$
Por lo que:   $14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y \, = \, 14x^2 \, (1 \, - \, 2x \, + \, 4y)$

 Ejercicio:
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:
1.$abc \, + \, abc^2$
2.$9a^2x^2 \, - \, 18ax^3$
3.$6a^2 \, - \, 12a(x \, + \, 2)$
4.
5.






Tomado de: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-2-expresiones-algebraicas-julioetall/node15.html

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